Кинорежиссер, заслуженный деятель искусств РСФСР, народный артист России Элем Германович Климов родился 9 июля 1933 года в Сталинграде (ныне – Волгоград).

В 1957 году окончил Московский авиационный институт.

Работал в молодежной редакции Всесоюзного радио и Центрального телевидения, в Московской филармонии.

В 1964 году Климов окончил режиссерский факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ныне – Всероссийский государственный университет кинематографии имени С. А. Герасимова). В том же году стал режиссером киностудии "Мосфильм".

Уже в студенческой работе "Жиних" (1960) он проявил себя как мастер эксцентрики, что с блеском подтвердил и в первом профессиональном фильме "Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещен" (1964), сатирической комедии, в которой остроумно высмеивался советский бюрократизм, проникший даже в пионерский лагерь.

Cвой опыт комедиографа режиссер продолжил фильмом "Похождения зубного врача", который вызвал резкую критику кинематографических чиновников.

В 1970 году на экраны СССР вышла художественно публицистическая лента "Спорт, спорт, спорт", соединившая в себе хроникальный и игровой материал.

Сложным по построению и стилистической многоплановости стал фильм "Агония", начатый в 1974 году и вышедший в официальный прокат лишь 1985 году.

В 1980 году, после трагической гибели в автокатастрофе своей жены, кинорежиссера Ларисы Шепитько, Элем Климов снял о ней документальный фильм "Лариса" и поставил начатый ею фильм "Прощание" (1981).

В 1985 году снял трагический фильм о войне "Иди и смотри".

В конце 1980-х годов режиссер намеревался экранизировать роман Михаила Булгакова "Мастер и Маргарита", однако этот замысел так и остался невоплощенным.

В 1986 году Элем Климов стал первым секретарем правления Союза кинематографистов СССР, в 1988 году объявил о том, что уходит в творческий отпуск и на два года слагает с себя обязанности. Свой уход он мотивировал желанием вернуться к режиссуре. Отпуск оказался бессрочным и перешел в добровольную отставку.

В последующие полтора десятка лет своей жизни Климов не снял ни одного фильма. В последние годы он вместе со своим братом и давним соавтором Германом Климовым работал над художественно документальным 12 серийным проектом "Спорт и кино", писал стихи.

26 октября 2003 года Элем Климов скончался. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.