Анатолий Васильевич Ляпидевский родился 10 (23) марта 1908 года в станице Белоглинская (ныне - село Белая Глина Краснодарского края). Детство провёл в Ейске. Работал подручным в кузнице, учеником слесаря, мотористом, помощником шофёра на маслобойном заводе.

В армии с 1926 года. В 1927 году окончил Ленинградскую военно-теоретическую школу ВВС, в 1928 году - Севастопольскую школу морских лётчиков. Служил в строевой части ВВС Балтийского флота, затем - лётчиком-инструктором в Ейской школе морских лётчиков. С 1933 года - в запасе.

Работал пилотом в Дальневосточном управлении ГВФ. В 1934 году принимал участие в спасении челюскинцев. Совершил 29 поисковых полётов в пургу и в ненастье, прежде чем 5.03.1934, обнаружив их лагерь, совершил посадку на льдину и вывез оттуда 12 человек - 10 женщин и 2 детей.

За мужество и отвагу, проявленные при спасении челюскинцев, ему 20.04.1934 присвоено звание Героя Советского Союза. В ноябре 1939 года, при вручении медалей "Золотая Звезда", ему была вручена Звезда Героя Советского Союза №1.

С 1935 года вновь в армии. В 1939 году окончил Военно-воздушную академию имени Н.Е.Жуковского. С 1939 года - заместитель начальника Главной инспекции НКАП. В 1940-1941 годах - начальник 8-го отдела (отдел эксплуатации, лётных испытаний и доводок) ЦАГИ, затем - директор авиационного завода 156 (г. Москва).

Участник Великой Отечественной войны: с сентября 1942 по сентябрь 1943 года - заместитель командующего ВВС 19-й армии, заместитель командующего (начальник полевого ремонта) 7-й воздушной армией (Карельский фронт).

С 1943 года вновь директор авиационного завода. После окончания войны работал главным контролёром Госконтроля СССР, заместителем министра авиационной промышленности, директором авиационного завода. С 1961 года - в запасе.

Жил в Москве. Работал заместителем главного инженера опытного завода. Умер Анатолий Васильевич Ляпидевский 29 апреля 1983 года. Похоронен в Москве, на Новодевичьем кладбище.

Генерал-майор авиации (1946). Награждён 3 орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции, Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степени, Трудового Красного Знамени, 2 орденами Красной Звезды, орденом "Знак Почёта", медалями.

Именем Ляпидевского названа улица в Москве. На доме, где он жил (Никитский бульвар, 9) установлена мемориальная доска.